课题进度03

使用均方根误差(RMSE)来描述跟踪误差。

1. 已知目标的真实轨迹(理论分析/仿真时)

假设你在某一时刻 kk 对目标的位置估计值是 $(x_k,y_k)$ ，而目标的真实位置是 $(x_k^{true},y_k^{true})$

第一步：计算单点误差

该时刻的定位误差平方为：

$\text{误差平方}_k=(x_k-x_k^{true})^2+(y_k-y_k^{true})^2$

第二步：计算累积后的均方根误差

如果你进行了 N 次独立的蒙特卡洛仿真，或者在某一时间段内有 N 个时刻的跟踪数据，那么位置均方根误差的计算公式为：

在真实的水下跟踪场景中，我们往往无法知道目标的确切位置（如果知道了就不需要跟踪了）。这种情况下，我们无法直接使用上面的公式。此时，均方根误差通常被用来衡量滤波器输出本身的稳定性，即一致性。

在这种情况下，计算依据的是滤波器提供的协方差矩阵 $P_k$

第一步：提取协方差

卡尔曼滤波或粒子滤波在给出位置估计 $(\hat{x}, \hat{y})$ 的同时，还会给出一个协方差矩阵，它描述了滤波器对自己估计结果的“不确定度”。

对于二维位置，协方差矩阵通常长这样：

$P_{k}=\left[ \begin{matrix} {\sigma_{x}^{2}} & {\sigma_{x y}} \\ {\sigma_{x y}} & {\sigma_{y}^{2}} \\ \end{matrix} \right]$

其中 $\sigma_{x}^{2}$ 是 $x$ 方向估计的方差， $\sigma_{y}^{2}$ 是 $y$ 方向估计的方差。

第二步：计算理论均方根误差

此时的均方根误差实际上是滤波器自己认为的理论精度：

$R M S E_{f i l t e r} ( k )=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}}$

在实际报告中，我们通常会取整个跟踪过程中 $RMSE_{filter}(k)$ 的平均值，或者画出它随时间收敛的曲线，来证明滤波器运行正常，且不确定度在逐渐降低。

跟踪误差

图1 位置误差

累积均方根误差

图2 速度误差

从图1中可以看出，在10s左右跟踪位置误差达到了最大，这是因为在前期目标与平台之间形成的方位角较大，导致跟踪精度较差。整体趋势是一个误差下降的过程。

从图2 中可以看出，在跟踪前期由于滤波器还没有足够的数据，导致跟踪误差较大，15s之后，随着新数据的加入，累积RMSE开始逐渐下降，反映了滤波器的收敛。

全局RMSE：全局RMSE计算的是整个时间序列上位置误差的总体均方根值，是对所有采样点上的误差进行统计的结果。

累计RMSE：累计RMSE是从起始时刻到当前时刻，所有历史跟踪结果的误差的均方根值，随着时间的推进，累计RMSE会逐步更新。